两种算法的数值稳定性差异显著：正向递推算法数值不稳定，逆向递推算法数值稳定。具体分析如下：正向递推算法的数值不稳定性正向递推的递推关系为 $ I_n = 1 - n I_{n-1} $（$ n geq 2 $），其误差传播机制导致数值结果不可靠。初始误差 $ E_0 $ 会随递推步骤呈阶乘级放大，例如第 $ n $ 步的误差满足 $ E_n = (-1)^n n! E_0 $。这种指数增长的误差特性使得计算结果迅速偏离理论值。例如，当计算 $ I_8 $ 时，误差放大导致结果出现负值，而根据积分定义 $ I_n > 0 $，这一矛盾直接暴露了算法的不稳定性。阶乘级误差增长是数值计算中的灾难性现象，即使初始误差极小，经过多次递推后也会完全掩盖真实结果。逆向递推算法的数值稳定性逆向递推的递推关系为 $ tilde{I}{n-1} = frac{1}{n}(1 - tilde{I}n) $，其核心优势在于误差随递推步骤逐步衰减。初始误差 $ E_n $ 在计算 $ tilde{I}{n-1} $ 时会缩小 $ n $ 倍，即 $ E{n-1} = -frac{1}{n} E_n $。这种误差衰减机制使得高阶项的误差对低阶项的影响被有效抑制。例如，在计算 $ I_9 $ 时，通过逆向递推结合积分估计，能够得到与理论值接近的合理结果。误差的指数级衰减保证了算法在长序列计算中的可靠性，即使初始误差存在，也不会对最终结果产生显著影响。稳定性差异的本质原因两种算法的稳定性差异源于误差传播方向的不同。正向递推中，误差从低阶项向高阶项传递，每次递推均引入新的乘法因子 $ n $，导致误差累积呈阶乘增长；而逆向递推中，误差从高阶项向低阶项传递，每次递推通过除法因子 $ n $ 削弱误差影响。这种方向性的差异决定了正向递推对初始误差极度敏感，而逆向递推能够通过递推过程自然修正误差。因此，在数值计算中，逆向递推算法更适用于需要高精度或长序列计算的场景。