L-BFGS算法L-BFGS算法，即有限内存中进行BFGS算法，是一种用于解决函数最优化问题的迭代方法。为了深入理解L-BFGS算法，我们需要先了解牛顿法和拟牛顿法的基本概念。一、牛顿法牛顿法是一种基于函数二阶导数的优化算法。它通过对目标函数在当前迭代点处进行二阶泰勒展开，并求解该展开式的极值点来更新迭代变量。具体地，设f(x)是二次可微实函数，在x^(k)处二阶泰勒展开为：f(x)≈ϕ(x)=f(x^(k))+∇f(x^(k))^T(x-x^(k))+1/2*(x-x^(k))^T∇^2f(x^(k))(x-x^(k))对上式求导并令其等于0，得到牛顿法的迭代公式：x^(k+1)=x^(k)-∇^2f(x^(k))^(-1)∇f(x^(k))然而，牛顿法存在一些问题，如当初始点远离极小点时可能不收敛，以及需要计算二阶偏导数等。二、拟牛顿法为了克服牛顿法的缺陷，人们提出了拟牛顿法。拟牛顿法的基本思想是用不包含二阶导数的矩阵近似牛顿法中的Hesse矩阵的逆矩阵。这样，就可以避免计算二阶导数，同时保持算法的高效性。拟牛顿法有多种实现方式，其中BFGS算法是较为常用的一种。BFGS算法通过迭代更新一个近似矩阵B_k，使其逐渐逼近Hesse矩阵的逆矩阵。在每次迭代中，BFGS算法利用当前迭代点的梯度信息和前一次迭代的信息来更新B_k。三、L-BFGS算法尽管BFGS算法在优化问题上表现出色，但当优化问题规模很大时，矩阵的存储和计算将变得不可行。为了解决这个问题，人们提出了L-BFGS算法。L-BFGS算法的基本思想是只保存最近的m次迭代信息，从而大大减少数据的存储空间。在每次迭代中，L-BFGS算法利用这些有限的信息来更新近似矩阵B_k，并据此计算搜索方向。由于只保存了有限的信息，L-BFGS算法在存储和计算上都比BFGS算法更加高效。具体来说，L-BFGS算法通过维护一个存储最近m次迭代梯度差和变量差的向量对集合来更新近似矩阵B_k。在每次迭代中，算法首先计算当前迭代点的梯度，并根据该梯度和向量对集合中的信息来计算搜索方向。然后，算法沿着搜索方向进行一维搜索，找到使目标函数值最小的步长。最后，算法更新迭代变量，并准备进行下一次迭代。四、总结L-BFGS算法是一种高效且适用于大规模优化问题的迭代方法。它通过只保存最近的m次迭代信息来减少存储和计算量，同时保持了BFGS算法的优化性能。在实际应用中，L-BFGS算法已经被广泛应用于机器学习、深度学习等领域的优化问题中。以下是L-BFGS算法中涉及的关键概念和步骤的示意图：这些示意图有助于我们更直观地理解L-BFGS算法的工作原理和步骤。