加权随机采样（WRS）加权随机采样是一种在具有不同权重的样本集合中，按照权重进行随机选择的方法。这种方法广泛应用于各种需要按照特定概率分布进行抽样的场景，如数据分析、机器学习中的样本选择等。一、问题定义假设有四件物品A、B、C、D，分别对应的权重为0.1、0.2、0.3、0.4。现在需要从这四件物品中加权随机采样，抽出其中2个。二、朴素方法朴素的方法是通过生成随机数，并根据随机数的大小落在哪个权重区间内来选择对应的物品。例如：生成第一个随机数0.59，它落在(0.1+0.2, 0.1+0.2+0.3]区间内，因此选择C。生成第二个随机数时，需要考虑已经选中的C的权重不再参与剩余权重的计算，即剩余权重为0.1(A)+0.2(B)+0.4(D)=0.7，然后生成随机数0.91，它落在(0.1/0.7+0.2/0.7, 1]区间内，对应到原始权重中即落在(0.1, 0.7]之外的部分，由于只剩下D的0.4，因此选择D。这种方法在样本数量n和需要抽取的数量m都较大时，复杂度会达到O(mn)，效率较低。三、WRS方法WRS方法通过一种更高效的方式实现了加权随机采样。具体步骤如下：生成随机数：为每个样本生成一个[0,1]之间的随机数R。计算采样分数：使用公式$S_i = -ln(1 - R_i) / w_i$计算每个样本的采样分数，其中$w_i$是每个样本的权重。排序与选择：按照采样分数对样本进行排序，输出前m个样本作为采样结果。这种方法的时间复杂度为O(n)，因为只需要遍历一次样本集合即可计算出所有样本的采样分数，并进行排序选择。四、模拟验证通过Python代码可以模拟WRS方法的执行过程，并验证其正确性。以下是一个简单的模拟示例：每轮抽取一个样本：从图中可以看出，每个样本被选中的次数与其权重成正比。每轮抽取两个样本：同样地，每个样本被选中的次数与其权重成正比，且每次抽取的两个样本也是根据权重进行选择的。五、数学证明为了证明WRS方法的正确性，可以使用数学归纳法。记U为满足[0,1]均匀分布的随机数，X为根据WRS方法计算得到的分数，w为样本的权重。需要证明的是，按照WRS方法计算得到的分数分布与样本的权重分布一致。通过数学归纳法可以证明，对于任意正整数n，WRS方法都能保证每个样本被选中的概率与其权重成正比。具体证明过程涉及复杂的数学推导，这里不再赘述。综上所述，加权随机采样（WRS）是一种高效且准确的按照权重进行随机选择的方法。通过生成随机数并计算采样分数，可以实现对具有不同权重的样本集合进行加权随机采样。这种方法在数据分析、机器学习等领域具有广泛的应用价值。